clones, computer, cube-2029896.jpg

Objętość sześcianu w zadaniach matematycznych i w praktyce

Badania z zakresu stereometrii sięgają czasów przed naszą erą. Już starożytni Grecy twierdzili, że wszechświat składa się z prostych brył geometrycznych, które są przejawem harmonii w przyrodzie. Koncepcja ta była podłożem projektów architektonicznych, które cechowała prostota i umiar występujący w naturze. Według filozofów, prawdziwe piękno przejawia się nie w kształtach lecz w proporcjach, które określić można matematycznymi wzorami. Najdoskonalszą formą bryły jest kula. Bliskie ideału są także wielościany foremne, do których należy sześcian charakteryzujący się wyjątkową regularnością.

Sześcian w koncepcji Platona

Grecki filozof Platon, działający w V wieku p.n.e. w Atenach twierdził, że materia zbudowana jest z cząsteczek, które mają kształty geometryczne. Uważał, że ziemia składa się z sześcianów. Współcześni naukowcy podjęli badania w celu zweryfikowania tej koncepcji. Poddali analizie wiele rodzajów skał i okazało się, że w każdym przypadku ich struktura składa się z fragmentów o kształcie sześcianu. Sześcian został zaliczony do tzw. brył platońskich czyli takich, w których z jednego wierzchołka wychodzi taka sama liczba krawędzi a wszystkie ściany są wielokątami foremnymi.

cube, escher, gradient-1293954.jpg

Czym jest sześcian?

Definicja tej bryły jest określona na podstawie jej właściwości. Nazywa się sześcianem, ponieważ ma 6 ścian. Pojęcie sześcianu zawiera się w nazwach szerzej określonych brył, jest więc także:

  • figurą przestrzenną, bo jest trójwymiarowy,
  • wielościanem, bo ma powierzchnię złożoną z wielokątów,
  • graniastosłupem, bo wszystkie wierzchołki leżą na dwóch płaszczyznach względem siebie równoległych i krawędzie nienależące do tych płaszczyzn są do siebie równoległe,
  • prostopadłościanem, ponieważ wszystkie ściany o wspólnej krawędzi są ułożone pod kątem prostym,
  • graniastosłupem prawidłowym, bo jego podstawa jest wielokątem foremnym,
  • romboedrem, jako że ściany są szczególną formą rombu oraz ma 8 wierzchołków i 12 krawędzi.

Sześcian jest najbardziej harmonijnym wielościanem; ma równe wszystkie boki i krawędzie, każda jego ściana jest czworokątem foremnym czyli kwadratem, z każdego wierzchołka wychodzą 3 krawędzie, a kąty tworzone przez stykające się ściany i krawędzie są równe i mają po 90°.

Sześcian jest bryłą, która często występuje naturalnie w przyrodzie. Forma ta spotykana jest głównie w postaciach skrystalizowanych minerałów, np. chlorku sodu czyli soli kuchennej. Ten idealny kształt bywa często wykorzystywany do tworzenia przedmiotów ozdobnych lub użytku domowego.

Jak oblicza się objętość sześcianu? 

Atrybutami każdej bryły są pole powierzchni i objętość. To je odróżnia od figur płaskich, których wielkość charakteryzuje jedynie pole powierzchni. Pole powierzchni sześcianu jest sumą pól wszystkich kwadratów tworzących ściany. Natomiast objętość sześcianu oblicza się za pomocą podniesienia do trzeciej potęgi długości krawędzi. Zatem wzór na objętość sześcianu to V = a3  

W matematyce V oznacza objętość, zaś „a” jest określeniem długości jednego z boków wielokąta lub krawędzi wielościanu. Jeśli chodzi o inne prostopadłościany, ich objętość oblicza się za pomocą iloczynu długości ich krawędzi: a x b x c. Analogicznie objętość sześcianu będzie wynosiła a x a x a, ponieważ sześciościan ma wszystkie krawędzie równe. Jak z tego wynika, do obliczenia objętości sześcianu potrzebna jest tylko jedna wielkość – długość krawędzi. Przykładowo:

  • jeżeli a = 3 cm, objętość można obliczyć 3 x 3 x 3 = 9 x 3 = 27 centymetrów sześciennych.
  • w przypadku a równego 1 cm obliczenie jest intuicyjne 1 x 1 x 1 = 1 cm sześcienny.

Objętość to miara przestrzeni trójwymiarowej. Ponieważ sześcian jest figurą przestrzenną, jednostki jego miary są sześcienne. W układzie SI jednostką podstawową jest objętość sześcianu o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

Co można obliczyć za pomocą znanej objętości sześcianu?

Warto poznać sposoby na obliczenie innych wymiarów sześcianu na podstawie jego objętości. Może to być potrzebne do rozwiązywania zadań matematycznych lub innych działań z zakresu stereometrii. Znając objętość sześcianu można obliczyć:

  • długość jego krawędzi – będzie to pierwiastek trzeciego stopnia z liczby oznaczającej objętość,
  • pole powierzchni podstawy sześcianu – pierwiastek trzeciego stopnia z wartości objętości, czyli długość boku razy 2,
  • pole powierzchni całego sześcianu – wyliczone pole powierzchni podstawy razy 6,
  • długość przekątnej sześcianu, znając długość boku, na podstawie twierdzenia Pitagorasa,
  • długość promienia kuli wpisanej w sześcian,
  • promień kuli opisanej na sześcianie,
  • sumę długości krawędzi sześcianu.
geometry, mathematics, dice-1023846.jpg

Do czego potrzebne jest obliczenie objętości sześcianu?

Sześcian jest bryłą wykorzystywaną do konstruowania urządzeń mechanicznych i produkowania materiałów budowlanych. Znając wymiary sześciennych elementów do budowy domu albo innego obiektu, da się wyliczyć ile potrzeba na to cementu lub innego tworzywa. W przypadku wszelkiego typu pojemników, objętość sześcianu jest jego pojemnością. W sześcianie o boku 10 cm mieści się dokładnie 1 litr wody. Na tej podstawie można zaplanować wielkość prostopadłościennych zbiorników pod kątem ich całkowitego zapełnienia. Na przykład basenów lub kadzi.

Wzór na objętość sześcianu przydaje się uczniom i studentom kierunków technicznych. Jest tak prosty, że łatwo go zapamiętać. Ale dla pewności zawsze można skorzystać z tablic wzorów matematycznych. Zadania ze stereometrii zazwyczaj pojawiają się na maturze z matematyki. Wzór na objętość sześcianu może się przydać do wyprowadzania innych wartości. W praktyce można z niego korzystać na przykład aby obliczyć ile czekolady zawiera tabliczka złożona z kilkunastu sześciennych kostek, aby móc dozować sobie spożywane kalorie. Producenci obliczają objętość opakowań potrzebnych do transportu towarów. W każdym z tych przypadków znajomość matematycznego wzoru przydaje się na co dzień.

Sześcian to figura magiczna z powodu jego rozlicznych właściwości wynikających z regularności i symetrii. Już starożytni doceniali jego wartość dla wprowadzania harmonii w architekturze. Obecnie również sześcian króluje w projektach i realizacjach zagospodarowania przestrzeni.

Zostaw komentarz